几何学是一门研究『空间』与『移动』的学问。这里的『空间』指的是正统的『几何空间』,
包括各种具体或抽象的几何图形,甚至是整个宇宙空间的几何构造;而『移动』则是这些几何空
间的表现,例如:平移,旋转, 对称,波动等等。
因此,几何学可说是真实世界与抽象世界的舞
台与演员的演出。而数学家Descartes (笛卡儿, 1596 1650)曾说:『人类心智与生俱来有完
美,空间,时间和运动等观念。』 不论是实际生活上为了丈量与计算的需要,或是对于宇宙空间
的好奇与探索,亦或是对于『美』的追求,自从人类开始生活在地球上,几何概念的演进便未曾
停歇。
而几何学的发展,也使人类开始真正认识我们所生存的宇宙空间。
影响几何学发展的重要思想
在孕育出有如巨大神木之现代几何学的过程中,许多重要的理论是这棵几何神木的主要枝
干。以作者的观点,我们将其由古至今,总括为以下25个:
1。
的概念的形成。2。毕氏定理。3。欧基理德几何原本及其影响。4。柏拉图的五个正立方体。
5。阿基米德的球体积的推导。6。祖冲之原理。7。笛卡儿的座标系统。8。牛顿,莱布尼兹的微
积分发明。9。高斯的优美定理,Gauss-Bonnet定理。
10。非欧几何的发展与黎曼的内在几何
观。11。 Lagarange的变分法及Laplace的天体力学。12。尤拉数与波动方程。13。 Klein's
24
几何学发展史简介25
program。
14。庞加莱平面及基本群。15。 Hilbert的几何基础。16。爱因斯坦的广义相对论。
17。 de Rham cohomology,Hodge理论及Cartan的微分形式观点。18。陈省身的特徵类
与Chern-Weil, Chern-Simon理论。
19。 Rauch比较定理。20。 Atiyah-Singer指标定理。
21。丘成桐教授所代表的几何分析。22。 Donaldson, Seiberg-Witten理论。23。 M。 Gromov
的辛几何。
24。 Mandelbrot的碎形几何与混沌理论。以及电脑时代的产物-25。计算几何的
发展,这可能是本世纪最为重要的。
以下我们由思想的演进以及人类在几何观点上的变化,从上述的重要思想理论中,再挑出
十个做较为深入的探讨。
从作者的角度来看,这十个思想代表了整个几何发展的主轴。它们分别
是:
一。 Pythagoras (毕达哥拉斯,约西元前6世纪) :毕氏定理。
毕氏定理又称为『商高定理』,在小学的数学教材内即有收录。
这个在现在看起来相当容易
理解的定理却可视为一个文明能否发展的重要指标。简单的说,由于毕氏定理的提出,显示人类
已经能够『初步地掌握方向的变化』。两千六百年前的人已经知道,如果从起点开始向东走四步,
再向北走三步,则最后到达的地方与原出发点的距离为五步之遥。
也就是说我们已经会变化方
向,而不再只是单线的在前进。有了这样的概念,三角形中的正弦定理,余弦定里就可以被推导
出来,并可被运用来测量距离,造桥,筑屋及计算炮弹射程等等。
二。 Euclid (欧基理德,约西元前300 260) :几何原本。
Archimedes (阿基米德,约西元前287 212) :级数和,球体积。
欧基理德的几何原本(The Elements)总结了希腊时代的数学成果。它被认为是西方科
学发展异于东方科学的最大特色。
在书中推导出许多现存于中学数学教材内的重要结果,例如
像毕氏定理,三角形内角和等于180度等等,而推出这些结果的主要依据,则是像下面几个基本
的几何公设:
五大几何公设
1 。
过相异两点,能作且只能作一直线(直线公理)。
2。线段(有限直线)可以任意地延长。
3。以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆(圆公理)。
4。凡是直角都相等(角公理)。
5。
两直线被第三条直线所截,如果同侧两内角和小于两个直角,则两直线作延长时在此侧
会相交。
26数学传播28卷1期 民93年3月
其中第五公设又叫做『平行公设(the parallel axiom)』,因为它等价于:
5'。
在一平面内,过直线外一点,可作且只可作一直线跟此直线平行。
奥瑟曼教授对于这本在两千三百多年前完成的书有很高的评价,他的评价是: (参见[3],
p。69 p。70)
它给了相当的『确定感』;
它的方法具有强大的威力;
证明方法展现高妙的才智;
几何图形的美感。
也许以现代的角度看来,几何原本所提及的仅是相当基础的内容,但是在两千两百多年以
前,人类却能以这些简单的知识,加上对天文的观测,巧妙地测量出地球的长度。埃拉托斯特尼
(Eratosthenes,约西元前270-190)采用了如下的做法:距离当时的亚历山大城正南方500英
哩处有一座亚斯文城,这个城市有著相当特殊的地理位置,它与我们的嘉义市相同,位于北回归
线上。
所以在亚斯文城的地面上插上一根旗竿,观察每天正午竿影的长度,我们可以确定一年中
夏至(太阳直射北回归线)的时间。埃拉托斯特尼在夏至的正午时分,同时在亚历山大城与亚斯
文城插上一根旗竿,并且测量出旗竿与太阳光线所夹的角度大约是圆周长的50分之一,因而算
出地球的周长大概是500×50 = 2500 (英哩)。
这已经是相当精确的数值。在那个大多数人
认为地表是平坦的年代,只用一些简单的数学理论及天文知识,却可以把地球的大小测量出来。
在希腊时代,人类可以处理一些非常正规的图形。到了阿基米德的时代,他利用杠杆原理
来推导球的体积。
除此之外,阿基米德对于弯曲的几何形体也有初步的掌握。例如他用无穷级数
和的方法能够求得直线与抛物线围成的区域面积大概有多大。另一方面,在大约西元五世纪时,
中国数学家祖冲之利用所谓的祖冲之原理『若两立体在等高处截的面积一样,则这两个立体的
体积相等』,也可以推算出球的体积。
虽然这些问题在微积分出现之后就变得相当容易解决,但
是在微积分诞生之前人类就有这样的概念,其实是相当伟大的。
三。 Descartes (笛卡儿, 1596 1650) :座标系统。
根据科学演进的过程看来,笛卡儿的座标系统可说是西方科学发展的重要里程碑。
在一个
抽象的平面上建立一个直角座标系统X与Y,精确地描述每一个点的位置,这样的概念对现
在的国中生来说,是相当容易理解的,也觉得很容易学,但是它却有划时代的作用。在希腊时代,
人类处理几何的问题,只能以图形的角度出发,透过作图,画辅助线等方式来决定诸如是否等分
或是否垂直等问题。
但是这个座标系统一给定之后,我们便可以把几何问题代数化。例如,在笛
卡儿之前所了解的直线或圆只是一个图像,但是有了座标系统之后,我们可以用方程式很精确
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地把它们描述出来,也可以很清楚的知道它们的相交状况。
除了把几何图像转换成可操作的数
字之外,笛卡儿的座标系统同时说明了数字的问题也有其几何意义。
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